Berechnet eine Näherung für das numerische Integral des gegebenen Ausdrucks im angegebenen Intervall.
Die Funktion integrate liefert eine Näherung für das numerische Integral von f mit der Variablen var von a bis b, mathematisch beschrieben mit:
Dieses Integral entspricht der Fläche zwischen der Funktion f und der X-Achse von a bis b, wobei hier die Fläche unterhalb der Achse negativ gezählt wird. f kann jede beliebige Funktionen mit var als zweitem Argument sein. a und b können beliebige numerische Ausdrücke sein, die reelle Zahlen entsprechen; sie können auch -INF oder INF sein (negativ bzw. positiv unendlich). integrate berechnet das Integral nicht exakt, sondern approximiert es mit Hilfe der Gauß-Kronrod-Quadratur, wobei der relative Schätzfehler geringer als 10-3 ist.
f(x)=integrate(t^2-7t+1, t, -3, 15) integriert die Funktion f(t)=t^2-7t+1 zwischen -3 und 15 und ergibt 396. Hilfreicher ist das Folgende: f(x)=integrate(s*sin(s), s, 0, x). Dies zeichnet das Integral der Funktion f(s)=s*sin(s) zwischen 0 und x, was dem bestimmten Integral von f(x)=x*sin(x) entspricht.
Liefert die Summe aller Ergebniswerte eines Ausdrucks für einen bestimmten Bereich ganzer Zahlen.
Die Funktion sum summiert f, wobei var ganzzahlig von a bis b gezählt wird. Formal wird dies beschrieben durch:
f können beliebige Funktionen sein: mit var als Variable, wenn eine Standardfunktion vorliegt. a und b können beliebige numerische Ausdrücke sein, die Ganzzahl entsprechen.
Liefert das Produkt aller Ergebniswerte eines Ausdrucks für einen bestimmten Bereich ganzer Zahlen.
Die product-Funktion liefert das Produkt von f, wobei var ganzzahlig von a bis b gezählt wird. Formal wird dies beschrieben durch:
.
f können beliebige Funktionen sein: mit var als Variable, wenn eine Standardfunktion vorliegt. a und b können beliebige numerische Ausdrücke sein, die Ganzzahl entsprechen.
Liefert die Fakultät des Arguments zurück.
Die fact-Funktion liefert die Fakultät von n zurück, allgemein beschrieben mit n!. n kann ein beliebiger numerischer Ausdruck sein, der eine positive Ganzzahl darstellt. Die Funktion ist als fact(n)=n(n-1)(n-2)...1 definiert, und die Beziehung zur gamma-Funktion ist fact(n)=gamma(n+1).
Liefert den Wert der Euler'schen Gammafunktion des Arguments.
Die gamma-Funktion liefert das Ergebnis der Euler'schen Gammafunktion von z, allgemein beschrieben mit Γ(z). z kann ein beliebiger numerischer Ausdruck sein, der eine reelle Zahl oder eine komplexe Zahl darstellt. Die Beziehung zwischen Gammafunktion und Fakultäts-Funktion ist fact(n)=gamma(n+1). Die mathematische Definition der Gammafunktion lautet:
. Sie lässt sich nicht präzise berechnen, daher benutzt Graph für die Annäherung das sogenannte Lanczos-Verfahren, um die gamma-Funktion zu berechnen.
Liefert den Wert der Euler'schen Beta Funktion zu den Argumenten.
Die beta-Funktion liefert das Ergebnis der Euler'schen Betafunktion von m und n. m und n können beliebige numerische Ausdrücke sein, die reelle Zahlen oder Komplexe Zahlen darstellen. Die Beziehung zwischen der beta-Funktion und der gamma-Funktion ist beta(m, n) = gamma(m) * gamma(n) / gamma(m+n).
Liefert den Wert der Euler'schen Beta Funktion zum Argument.
Die W-Funktion liefert das Ergebnis der Lambert W-function (auch: Omega-Funktion) für z. z kann ein beliebiger numerischer Ausdruck sein, der eine reelle Zahl oder eine komplexe Zahl darstellt. Die Umkehrfunktion zu W ist f(W)=W*eW.
Für reelle Werte von z - bei z < -1/e - liefert die W-Function Werte mit einem Imaginärteil.
Liefert den Wert der Riemannschen Zetafunktion zum Argument.
Die zeta-Funktion liefert das Ergebnis der Riemannschen Zetafunktion zurück, allgemein beschrieben mit ζ(s). z kann jeder beliebige numerischer Ausdruck sein, der eine reelle Zahl oder eine komplexe Zahl darstellt.
Liefert den Rest der Division des ersten Arguments durch das zweite Argument.
Berechnet m Modulo n, den Teilungsrest von m/n. mod berechnet den Teilungsrest f, wobei m = a*n + f für eine Ganzzahl a ist. Das Vorzeichen von f entspricht immer dem Vorzeichen von n. Wenn n=0=0 ist, liefert mod 0 zurück. m und n können beliebige numerische Ausdrücke sein, die reelle Zahlen darstellen.
Liefert die Normalverteilung des ersten Arguments, optional mit Erwartungswert und Standardabweichung.
Die dnorm-Funktion ist die Wahrscheinlichkeitsdichte der Normalverteilung, auch: Gauß-Verteilung. x ist die Zufallsvariable, μ ist der Erwartungswert und σ ist die Standardabweichung. μ und σ sind optional. Fehlen sie, so wird die Standard-Normalverteilung benutzt, wobei μ=0=0 und σ=1 sind. x, μ und σ können beliebige numerische Ausdrücke sein, die reelle Zahlen darstellen, wobei σ > 0 ist. Die Normalverteilung ist folgendermaßen definiert:
